Auto référence et paradoxes
La théorie des ensembles en mathématiques, qui a fait pleurer des millions de jeunes de ma génération, en pénétrant
violemment dans les salles de collège des années 70, a fait de remarquables avancées notamment grace au cas particulier des super ensembles, ou ensemble d’ensembles, éminemment auto référents.
Ces ensembles d’ensembles ont mis à jour des paradoxes en Mathématiques et ouvert la porte à des petits malins comme Kurt Gödel, pour ébranler (Mathématiquement !!!) l’édifice entier des Mathématiques.
Nous y reviendrons, mais voyons en d’abord une application simple, en la personne du très célèbre et néanmoins paradoxal barbier crétois.
Le barbier Crétois
Le barbier Crétois, rase tous les crétois qui ne se rasent pas eux même (et uniquement ceux la).
Un empêcheur de raser en rond pose alors la question : » mais qui rase le barbier alors ? «
Facile : si le barbier se rase lui même, alors il rase quelqu’un qui se rase lui même ce qu’il n’a pas le droit de faire. Bon, et s’il ne se rasait pas lui même ? Alors il serait obligé de se faire
raser par le barbier qui rase tous ceux qui ne rasent pas eux même. Ce petit problème n’a donc pas de solution no paradoxale, dans le petit monde crétois…
Cercle vicieux ou spirale virtueuse ?
auto référence pure
Tout le monde connait l’effet feed-back en video, on peut en expérimenter les effets avec un simple miroir à la main, dos à un …miroir. Si on tient correctemnt le miroir légèrement décale et bien orienté on peut voir de manière apocalyptique sa propre image se refleter à l’infini, en rebondissant dans les 2 surface réfléchissantes. Si le mirroir à main est parfaitement en face de l’autre mirroir il ne se passe rien, puisque les signaux sont complètement symétriques l’un de l’autre et que concrètement votre visage masque le 2eme mirroir. Un léger décalage de l’axe déclenche le processus.
récursivité
La récursivité c’est définir un objet en fonction de lui-même, de manière donc auto référente mais aussi ET SURTOUT de définir les limites de cette auto référence (qui peut être une condition initiale ou un point d’arrêt…)
En conclusion : une spirale virtueuse c’est un cercle vicieux qui avance mais qui sait aussi
s’arrêter !
L’exemple de la factorielle en mathématiques
La factorielle est une fonction mathématique
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Définition simple de factorielle
La factorielle d’un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre, par son prédecesseur, lui même multiplié par son prédécesseur et ainsi jusqu’a multiplier par 1. La factorielle est définie, ou calculable seulement pour les nombres entiers positifs (plus grands ou égaux à 0). La factorielle d’un nombre n s’écrit en raccourci n!
exemple : factorielle de 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 et 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Utilité de factorielle
Cette fonction sert très souvent dans les problèmes de statistiques, et plus précisément dans les problèmes de calcul de nombre de combinaisons, appelés problèmes
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de dénombrement . Ainsi si j’ai 3 couleurs rouge (R), Vert (V) et Bleu (B) et que je veux savoir combien j’ai de possibilités différentes pour associer ces 3 couleurs je peux réfléchir et comptabliser une par une les solutions, en essayant de ne pas me répéter et surtout…de ne
pas en oublier :
RVB, BVR, BRV, RBV, VRB, VBR si je ne me suis pas trompé il en a 6.
Et bien les mathématiciens nous disent et même nous démontrent (mais ce n’est pas l’objet ici) que ce n’était pas la peine de ce fatiguer pour 3 couleurs il y a FACTORIELLE 3 combinaisons !
Sur cet exemple simple on s’en sortait assez bien sans connaitre factorielle, mais en exercice amusez vous à faire la liste de toutes les combinaisons possible des 4 couleurs R,V,B et J (Jaune). Vous savez maintenant, qu’il y en a 4! = 24 c’est déjà pas mal…
Factorielle une fonction (vraiment) récursive
Si on regarde de près on s’aperçoit que pour calculer le 6! précédent on aurait pu moins se fatiguer (il est de notoriété publique que les plus feinéants sont les plus intelligents). 5! c’est par définition 5 x 4 x 3 x 2 x 1 mais on a vu que 4! = 4 x 3 x 2 x 1 donc 5! n’est pas autre chose que 5 x 4! c’est tout de même plus facile à écrire. C’est aussi plus facile à calculer quand on connait 4!
En résumé la factorielle peut toujours se définir en fonction de la factorielle précédente. Et si factorielle se définit grace…à factorielle c’est bien une fonction auto référente : 10! = 10 x 9! 45! = 45 x 44! 1230! = 1230 x 1229! etc.
Définition générale de factorielle
nous ne nous intéressons plus ici à des exemples de résultat de facoriellel pour un nombre précis, mais à factorielle pour un nombre quel qu’il soit que nous appelleront ‘n’ .
Définition complète ou exhaustive ( »en extension » disent les matheux)
D’après les quelques xexmples des paragraphes précédents on peutrapidement déduire que :
n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x …………………………..x 3 x 2 x1
Définition compacte ou récursive ( »en compréhension » disent les matheux)
n! = n x (n -1)! et 0! = 1
C’est la définition que nous retiendrons. Mais est elle vraiment
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suffisante ? Permet elle de calculer n’importe quelle factorielle ? et d’ou sort ce 0! = 1 ? et à quoi sert il ?
De la puissance de la définition récursive…et de l’utilité d’un point d’arrêt
essayons de (re) calculer 4! avec cette simple définition :
4! = 4 x 3! or 3! = 3 x 2! or 2! = 2 x 1! or 1!
= 1 x 0! et l’on sait par définition que 0! = 1
maintenant qu’on a enfin trouvé un résultat qui se suffit à lui même et ne fait pas une nouvelle fois appel à factorielle on peut remonter à l’envers :
donc 1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1 donc 2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2 donc 3! = 3 X 2 = 6 donc 4! = 4 X 6 = 24 CQFD
Cette définition récursive très courte à donc suffi à calculer de manière mécanique 4! , mais pour cela il a fallu conserver toutes les étapes intermédiaires du calcul pour pouvoir « remonter le calcul à l’envers ». En d’autres termes (plus utilisés en informatique) à chaque fois, factorielle s’appelle elle même mais avec des valeurs différentes, dans un contexte différent.
Il est très important de noter ici encore que :
- c’est la modification au sein de la boucle (le nombre dont on calcule la factorielle qui diminue de 1 à chaque tour) qui permet au processus d’avancer.
En l’occurence une définition du type n! = n x n! ne permettrait qu’une boucle infinie de calcul sans aucun résultat. Et que l’on rajoute ou pas une clause du style 0! = 1 n’y changerait rien… - si nous n’avions pas connu au moins une valeur de factorielle, en l’occurence 0! =1 , ce processus d’auto appel de factorielle se serait sans doute arrété mais n’aurait pas
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